『楕円曲線と保型形式のおいしいところ』のおいしいところ - hiroyukikojima’s blog
今、D.シグマ『楕円曲線と保型形式のおいしいところ』暗黒通信団を少しずつ読んでいる。これは、息子が父の日のプレゼントに買ってきてくれた本なのだ。 というのも、以前、息子がコミケに行くとき、暗黒通信団のブースも見てくる、というので、この本の購入を頼んだのだ。しかし、残念ながら本書は売り切れになっていた。まあ、別にどうしても欲しいわけではなかったので放置していたのだが、最近、ぼくがアマゾンからコブリッツ『楕円曲線と保型形式』丸善出版を取り寄せて眺めているのをみて、息子は急に思い出したらしく、書店でD.シグマ『楕円曲線と保型形式のおいしいところ』暗黒通信団を探して買ってきてくれたのだ。 楕円曲線と保型形式のおいしいところ 作者: D.シグマ 出版社/メーカー: 暗黒通信団 発売日: 2017/08/01 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る そうして読んでみたら、ぶっとんだ。これこそが
素数が素数でなくなるとき
素数が素数でなくなるとき 素数は数の性質を考える上でとても重要だが、実はどのような数の集合の中で考えるかで素数であるかないかが変わってしまう。数理学府の吉田さんは、素数が素数でなくなる度合いを表す手法の1つを洗練し、より正確な度合いの測定を可能にした。 吉田 学（数理学府） 素数とは、2, 3, 5, 7 ...とつづく「それを割り切る数が2個しかない自然数」のことである。例えば7は1と7でしか割れない。この「割り切る数が2個しかない」という性質は、整数全体の集合{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}で見たときには成り立つが、もう少し大きい数の集合を考えたときは、その集合の別の素数で割り切れてしまうことがある。 素数2の場合、整数全体の集合では1と2でしか割り切れない。しかし、虚数iを含む集合を考えたとき、 2 = (i − 1)(i − 1)i というように
有理数とか有限体とかのはなし - Qiita
一部間違いがあります、本文中でも明記しましたが最初の終了条件はInt を覆っていません。 最後に訂正したバージョンとより厳しいquickCheck の結果も載せておきました。 Haskell Advent Calendar 2016 の10日目です。 去年は眺めているだけだったので今回枠取れたの嬉しいです！ レベル分け的にはAdvanced Beginner の一人が同じくらいのレベルの人に向けて書いてるつもりです、やや内容に初等整数論が含まれます。 あわよくばより詳しい人にトンテンカンカンと直していただきたい感じですが。 モチベーション 電卓などで(1/3) の計算をした後、答えに3 を掛けたことがある人、そしてそのとき1 に戻らなかった経験ある人もきっと多いことだと思います。 今回の話はそれにちょっと関係している、かもしれません。 今回は体を取り上げます、体と言うのはいわゆる四則演算に
CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (1) リー群 - swk's log はてな別館
シリーズ一覧へ このエントリでは，回転を題材としてリー群の定義を説明し，それを導入する動機と基本的な考え方を導入する． ざっくりと言うと，回転を考えるというのはある種の「曲がった空間」を考えることであって，理論上も実用上も面倒な点が多い．ところがここで，回転が「群」と呼ばれる数学的構造を持っていることに着目すると，さっきの「曲がった空間」に関する問題を，それに対応する「真っ直ぐな空間」に関する問題に置き換えて考えることができる．ここで言う「曲がった空間」がリー群であり，「真っ直ぐな空間」がリー代数と呼ばれるものであり，それらの間の対応を表すのが指数写像と呼ばれるものである，という話をこのエントリとそれに続く 2 エントリくらいを通じて見ていきたい． 何やら魔法のような話に聞こえるかもしれないが，こんな風に，ある問題をそれと対応関係にある別の問題に置き換えて考えるというのは数学ではよくある話
ロボット技術者向け 速習(2) リー群・リー代数を使った3次元剛体変換 - Qiita
はじめに 前編「3次元回転群」はリー群・リー代数による3次元の回転表現を議論したが、ロボティクス工学の世界では、回転運動だけではなく、並進運動も重要である。回転変換と並進変換の組み合わせによる変換は、物体の形状を変化せずに行うことができ、一般的には剛体変換と呼ばれる。 最新のSLAMやロボット運動学の論文では、頻繁的にリー群による剛体変換が用いられている。ロボット技術者として、最新の研究成果を追いかけるためには、これらの知識を理解する必要がある。しかし、Web資料や教科書などに情報が存在するものの、相当な数学力がないと理解しにくい。 本稿の目的は、ロボット技術者に必要な剛体変換群の知識をできるだけわかりやすく解説する。本稿の説明は、前編の内容を理解する必要があるので、もし「3次元回転群」がわからない方はまず前編を読んでください。 また、他のWeb資料や教科書ではリー群の指数写像と対数写像の
【感想】巴山竜来『リアルタイムグラフィックスの数学―GLSLではじめるシェーダプログラミング』 - Technically, technophobic.
この本を数か月前に読んで面白かったです。2022年に読んだ技術書の中でベストだったので、紹介しよう。と思って書き始めたら、なんか前置きが長いだけの謎文章になってしまったけど公開します。。 この本を読むと、こんなのが作れるようになります。 8章。レイマーチング完全に理解した。 #リアルタイムグラフィックスの数学 pic.twitter.com/VDYhxIlar3— Hiroaki Yutani (@yutannihilation) 2022年9月12日 ちなみに私はGLSLじゃなくてRustとWGSLでやってたんですが、もし興味あればここにメモとコードを公開しています。 メモ: https://zenn.dev/yutannihilation/articles/d7fe746f4bce38 コード: https://github.com/yutannihilation/math_of_re
オイラーの素数生成多項式の秘密 - tsujimotterのノートブック
今日はオイラーが発見した， という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して，多項式の に整数 を入れていくと，「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。 これだけでも十分面白いのですが，なんとこれが 「類数」 という「一見まったく関係のなさそうな概念」と結びつくのです。私がこの事実を知ったのは，およそ２年ほど前です。それ以来，その秘密が知りたくてたまらなくなりました。 ２年経って，いろいろな勉強をして，ようやく理解のための土台が出来てきたという実感を得ました。今こそ解説にチャレンジしたいと思います。 とはいえ，なかなかに難しい話ですし，私が理解しているレベルのほぼ最前線です。そのため，わかりやすく嚙み砕く余裕はほとんどありません。整数論の知識はかなり求められますし，普段の記事と比べてもだいぶレベルが高いかもしれません。その点ご了承くださ
二項係数の逆数和を試算したけれど - 完全無欠で荒唐無稽な夢
みんなのお馴染みパスカルの三角形。 これは日本人好みの形状でもあります。なぜなら、積み重ねると富士山的になるから。 この三角形で二項係数を反転したパターンが個人的にお気に入りでした。 このところの暑さに熱のこもった頭でこの逆転三角形を眺めて、試算の衝動に久々に駆り立てられたのは三角形の芯の部分の総和はどうなるかという計算ネタです。 上の図では一番下の行でｎ＝５に相当するのが、 この逆数和はどうなるのだろうか？ ｎを有限な極限値はあるのだろうか？ 実はｎ→∞で「ゼロ」になってしまいます。 しかも。この数列には意外なところに極大値がある。 せっかくなのでn=100までの計算値を示します。 ここから、極大値と極限値の傾向を予測できる人は凄いです。 極大値は「2/3」、極限値はなんと「ゼロ」ですね。 下はn=10000までの計算結果です。横軸はｎです。 極限はゼロっぽい（誰か証明してえ！） 極大値
最小二乗法でシステム同定やってみた - Qiita
はじめに 私が制御工学を学び始めたとき、「これを学んでいけばモータを自由に制御できるようになるのか！」と思い、古典制御、現代制御と勉強を続けましたが、「これってモデルがある前提で説明してくるけど、そもそもモデルってどうやって求めるの？」という疑問が湧きました。制御工学を学んでいる人でもこういった疑問を持つ人は多いのではと思ったので、今回は実際に水平1軸アームシステムを対象に、システム同定を行い、モデルの妥当性を簡単に評価したいと思います。 目次 1. システム同定とは 2. 水平1軸アームシステムのモデル 3. 同定入力の選定 4. システム同定の手法 5. システム同定 6. モデルの妥当性評価 1. システム同定とは 制御工学を勉強してPID制御やら最適レギュレータやら様々なコントローラ・オブザーバの設計方法を知ると思います。しかしそれらを設計するとき、必ず必要になるのが数学モデルです
差分方程式(difference equation)の一般解と隣接三項間漸化式の解法 - あつまれ統計の森
確率過程に関連して差分方程式(difference equation)の一般解などが出てくるが、「数列」で取り扱われる「隣接三項間漸化式」の一般化と考えることもできる。当記事ではどちらの観点からも理解できるように、取りまとめを行なった。 「自然科学の統計学」の10章「確率過程の基礎」の章末の「付節 差分方程式の解法」を参考に作成を行なった。 手法の確認 問題設定の確認 数列$\{ a_{n} \}$に関して、下記の隣接三項間の漸化式を考える。 $$ \large \begin{align} a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_{n} = 0, \quad n=0, 1, … \quad (1) \end{align} $$ 上記は$2$次 or $2$階の差分方程式(difference equation)ともいわれる。これに対し、下記のような特性方程式(character
ランダム行列理論 - データサイエンス時代で活躍できる人材になるために
数学セミナー2019年2月号 通巻 688号 ランダム行列 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2019/01/12 メディア: 雑誌 この商品を含むブログを見る ランダム行列理論についての特集が数学セミナーにあったので面白かったところをピックアップしたいと思います． ・ランダム行列とは? ランダム行列とは確率変数を成分とする行列であり，多変量解析ではウィシャート行列が代表的なランダム行列であります．統計学に限らず，分布の仮定を変えることによって無線通信，ポートフォリオ理論，複雑ネットワーク，など様々な応用例があるところが興味深いです．特にいくつかの限定された統計集団の下での研究がなされています．ランダム行列理論には大きく分けて，ガウス型統計集団やラゲール統計集団などがあり，数学セミナーではガウス型統計集団が主にピックアップされていました．ガウス型統計集団にも大きく分けて3つあります
べき算の時計 - 数が降る街
以前の記事「mod p における乗法群を時計のように並べる」を踏まえた内容です。 この記事から読んでも分かるように書いたつもりですが、 分かりにくい箇所があれば参照して下さい。 mizumiya-umi.hatenablog.com nを2以上の整数とします。 mod n の集合 {0,1,2,……,n-1} は、加法(足し算のことです)に関して巡回群になっています。 巡回群は時計のような円状の配置にできます。 mod 12 の場合の加法巡回群は、 0 11 １ 10 ２ ９ 12 ３ ８ ４ ７ ５ ６ という、見慣れた時計の形に配置できます。 1を足すと、時計回りに1個分動きます。 0に足し続けることで全ての数が現れる数を、加法群の生成元と呼びます。 mod 12 の加法巡回群の生成元の集合は{1
128ビット符号付き整数の最大値は素数 - Rustで任意精度整数演算
概要 2^n-1 型の数はメルセンヌ数と呼ばれ、更に素数である場合にメルセンヌ素数といいます。本記事では、メルセンヌ数に対する高速な素数判定法であるリュカ・レーマーテストを、Rustの任意精度演算用クレート rug を利用して実装します。 実行環境 CPU: Intel Core i7 1.8GHz メモリ: 16GB OS(ホスト): Windows 10 Home 21H1 WSL2: Ubuntu 20.04.3 rustc: Ver. 1.55.0 cargo: Ver. 1.55.0 符号付き整数型の範囲について Rustには組み込みの整数型として 8,\,16,\,32,\,64,\,128 ビット整数[1]がそれぞれ符号付き・符号なしで備わっています[2]。そのうち符号付き整数は、他の多くの言語と同様、2の補数によって負の数が表現されます。したがって、ビット数 n = 8,
ChatGPT(GPT4)と一緒に代数学を勉強してみたらなんか謝られた - ashiato45の日記
これは何？ 最近ちびちび宮西正宜・増田佳代さんの「代数曲線入門」を読んでいるのですが、わからないところにあたったときに片手間の数学だとなかなか進まないものです。 代数曲線入門 作者:正宜, 宮西,佳代, 増田共立出版Amazon そんな折OpenAIのChatGPTの新バージョン、GPT4の性能が高いと聞いたので、「試してやろう」とかそういう気持はなく、単に一緒に学ぶパートナーとしてGPT4を試してみることにしました。 わからなかったところ 2.3節「代数曲線の局所環」で、Cをf(X,Y)=0で定まる既約代数曲線とし、Rを座標環k[X, Y]/f(X, Y)としたとき、Cの点とRの極大イデアルが一対一対応するという話をしています。ここで、極大イデアルから点をつくり、そこからまた同じ極大イデアルに戻るところを議論するところで次のように書いてあります。ここで、θはk[X,Y]からRへの全射です
ガロア理論超入門 - 美的数学のすすめ
ここまで見てきたガウス周期をガロア理論の立場から見直してみます。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、完全にガロア理論と同様のことを理解していたと言われています。 ガロア（Galois）は1811年生まれですからガウスが34歳の時に生まれました。そして、20歳のとき決闘で死ぬまでにはガロア理論の構想はできていましたから、ガウスが50歳前後のときにはガロア理論は誕生していたことになります。（ちなみに、ガウスは77歳で亡くなっています。）ガロアが決闘に行く前日に友人のシュヴァリエに宛て「ヤコビかガウスに、これらの定理の正しさではなく重要性について、公の場で意見を求めてほしい。」と最後の手紙を書きました。（"定理の正しさではなく重要性について"と書いたのは、ガロアにとってガロア理論－後にそう呼ばれることとなった一連の理論－が正しいことは当然だったのでしょう。）しかし、残念なが
これでわかるかもしれないガロア理論の入り口 - Qiita
0. はじめに ガロア理論というのは、一言で言うと、「体」の「自己同型写像」が構成する「群」の構造とその体の構造とのあいだの関係性についての理論です。 ここでは、以下の流れでガロア理論の話をすすめています。 前半は、ガロア群に至るまでの直観的認識を身につけるための話です: 「体」およびそのいくつかの重要な性質を認識する 「自己同型」という視点について、具体的な体を例に認識する 自己同型写像全体が持つ演算構造として、「群」を認識する 群の全自己同型写像でも一切変化しない元があり、それらの元だけでも「部分体」が成立している関係を認識する 部分体とその元の体との間にある関係をもたらした、元の体の自己同型写像の群(「ガロア群」)にある演算構造の特徴を認識する 後半は、このガロア群の具体例についての話です: 具体的に、2の3乗根の体のガロア群、および、2の5乗根の体のガロア群を導出し、それらの分析を
世の中の数字の現われ方は一律ではないって知っていましたか―ベンフォードの法則について― | ニッセイ基礎研究所
「対数（logarithm）」という言葉を聞くと、何となく身構えてしまう人が多いのではないか。学生時代に、数学で学んで、試験問題でも苦労した人もいるかもしれない。そもそも、日常生活においては、通常、一般の人が「対数」に出会うことはないと思われる。私も大学卒業後、確率や統計等を扱う仕事に従事してきているが、入社後、専門的な資格試験をパスするために、多くの試験問題を解くのに苦労して以来、日常業務で「対数」を使うことは殆どなかった、と思われる。 ただ、実は、自然界には、この「対数」に基づいている測定結果が幅広く存在している。「ベンフォードの法則（Benford’s Law）1」は、こうした自然界における測定結果の最初の桁の数値の分布が、一様ではなく、対数を用いて表される特定の分布に従っているというものである。 我々が、自然界での各種事象に現われてくる数字を観察してみた場合、１から９までの数字が一
等差数列の中の素数からラングランズ予想へ - hiroyukikojima’s blog
もう、すいぶん前、１年以上前に、黒川信重『ガロア表現と表現論』日本評論社の一部を紹介した(ガロアの定理の短めの証明が読める本 - hiroyukikojimaの日記)。このときは、「ガロアの基本定理」、すなわち、「代数拡大体の中間体と、その自己同型群の部分群が１対１対応する」という定理の、非常に短く、わかりやすい証明がこの本に載っているよ、ということを書いた。それで、この本に載っている他の定理のことも近いうちに書く、と予告してたんだけど、なんと！ それから、1年以上も歳月が流れてしまった。 前々回のエントリー(テレ東ドラマ『電子の標的2』に協力をしました - hiroyukikojimaの日記)で触れたように、今ぼくは、雑誌『高校への数学』東京出版に「素数の魅力」という連載を持っていて、そのため、素数について、いろいろと調べ直している。そこで、「ディリクレの算術級数定理」について、どう紹介
ニューラルネットの積分表現理論――リッジレット変換とオラクルサンプリングによる3層パーセプトロンの学習の数値実験 - Qiita
概要 園田翔『深層ニューラルネットの積分表現理論』[3]という論文の中で「(浅い)ニューラルネットワークがしていることは 双対リッジレット変換 (の離散化)である」ということが解説されています． この論文では入力を一般の $m$ 次元にとり，活性化関数として ReLU やシグモイド関数を含む超関数のクラスに対して結果を与えています．が，そのぶんとても難しいです． 1 そういうわけで，本稿では上の論文で提案されている「オラクルサンプリング」という手法を 活性化関数として Gauss 核 $\eta(x) = \exp(-x^2/2)$ (急減少関数)を用い， $m = 1$ 次元の場合に限って 解説し，さらにその数値実験をしようと思います． (本稿を読む前に園田先生のスライド[2]に目を通しておくことをおすすめします．) 使ったもの Python 3.6.0 Chainer v3.1.0 O
グラフ信号処理におけるサンプリングと復元 - 甲斐性なしのブログ
はじめに グラフ信号処理に関する日本語の書籍が昨年発売された。 グラフ信号処理の基礎と応用: ネットワーク上データのフーリエ変換,フィルタリング,学習 (次世代信号情報処理シリーズ 5) 作者:田中 雄一コロナ社Amazon 本記事ではその中で解説されているグラフ信号のサンプリングと部分空間情報を利用した復元について簡単にまとめた上で、実際に試てみた際のコードと結果を紹介する。 グラフ信号処理の諸概念 グラフ信号 グラフ信号は下図のようにグラフの各頂点上に値を持つ信号である。 このような頂点上に値を持つグラフの例としては、空間上に配置された複数のセンサーが挙げられる。これは、近くにあるセンサー同士が辺でつなげば、その計測値はグラフ信号とみなせる。それ以外にも、路線図と各駅の人口、SNSのつながりと各ユーザの特性（年齢などの何らかの数値）等々、グラフ信号としてモデル化できる現実の事象は様々存
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